ĐỊNH NGHĨA – TIÊN ĐỀ - ĐỊNH LÝ – CHỨNG MINH
Tác giả: MICKAEL LAUNAY
Trích: Toán Học Một Thiên Tiểu Thuyết – Lịch Sử Toán Học Kể Từ Thời Tiền Sử Đến Nay; Nhã Phong dịch; NXB Thế Giới.
---o0o---
Bộ sách Cơ sở được soạn vào thế kỷ 3 trước Công nguyên bởi Euclid được gộp thành bởi mười ba quyển với nội dung chủ yếu là về hình học và số học.
Người ta không biết nhiều về Euclid và những nguồn liên quan đến ông cũng hiếm hơn so với Thales và Pythagoras. Có thể ông từng sống ở thành Alexandria. Một số người khác đưa ra giả thuyết, cũng giống những gì ta từng đề cập về Pythagoras, rằng ông không phải một nhân vật có thật mà chỉ là tên của một nhóm học giả. Không có gì chắc chắn cả. Mặc dù thông tin về Euclid rất hạn chế, nhưng ông đã để lại cho đời sau Cơ sở, một tác phẩm đồ sộ. Bộ sách này được công nhận là một trong những trước tác vĩ đại nhất trong lịch sử toán học và cũng là công trình đầu tiên có sự xuất hiện của tiên đề. Kết cấu của Cơ sở hiện đại một cách đáng ngạc nhiên và rất gần với cấu trúc được các nhà toán học hiện nay sử dụng. Vào cuối thế kỉ 15, Cơ sở là một trong những bộ sách đầu tiên được in bằng máy in Gutenberg đời mới. Công trình của Euclid hiện là văn bản được xuất bản nhiều thứ hai, chỉ sau Kinh Thánh.
Trong quyển đầu tiên của Cơ sở, viết về hình học phẳng, Euclid đã nêu ra năm tiên đề dưới đây:
1. Qua hai điểm bất kỳ luôn vẽ được một đoạn thẳng;
2. Một đoạn thẳng có thể kéo dài vô tận về cả hai phía;
3. Cho một đoạn thẳng, có thể vẽ một đường tròn có bán kính là đoạn thẳng ấy với tâm là một trong đầu
mút của đoạn thẳng ấy.
4. Mọi góc vuông đều có thể đặt chồng khít lên nhau.
5. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn tổng hai góc vuông, thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Sau đó là một loạt các định lý được chứng minh hoàn hảo không chê vào đâu được. Với mỗi định lý, Euclid không sử dụng gì khác ngoài năm tiên đề hay kết quả đã được thiết lập trước đó. Định lý cuối cùng ở quyển đầu tiên là một kiến thức cũ bởi đó chính là định lý Pythagoras.
Sau Euclid, rất nhiều nhà toán học đã tập trung vào vấn đề lựa chọn các tiên đề. Nhiều người đặc biệt bị lôi cuốn và rối trí bởi tiên đề thứ năm. Tiên đề cuối cùng này không cơ bản bằng bốn tiền đề còn lại. Đôi lúc nó được thay thế bởi một phát biểu đơn giản hơn, nhưng vẫn dẫn đến các kết luận giống nhau: qua một điểm, chỉ kẻ được một và duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Những tranh luận về việc lựa chọn tiên đề thứ năm kéo dài đến tận thế kỉ 19 khi chúng cuối cùng dẫn đến việc tạo ra những mô hình hình học mới trong đó tiên đề này là sai!
Sự phát biểu trong các tiên đề này đặt ra một vấn đề mà khác: các định nghĩa trong đó. Tất cả các từ được sử dụng: điểm, đoạn thẳng, góc hay đường tròn, chúng nghĩa là gì? Giống như với việc chứng minh, câu hỏi các định nghĩa cũng là vô tận. Định nghĩa đầu tiên nên ra sẽ được diễn đạt bằng những từ ngữ chưa bao giờ được định nghĩa trước đó.
- Trong Cơ sở, các định nghĩa được đặt trước các tiên đề. Câu đầu tiên trong quyển thứ nhất là định nghĩa về điểm.
Điểm là thứ không thể phân chia.
Cố mà hiểu nó đi! Trong định nghĩa này, Euclid muốn nói rằng điểm là hình thái hình học nhỏ nhất khả dĩ. Không thể áp dụng phương pháp ghép hình với một điểm, bởi nó không thể bị phân chia thành các phần nhỏ hơn. Vào năm 1632, ở một trong những ấn bản đầu tiên bằng tiếng Pháp của bộ Cơ sở, nhà toán học Denis Henrion đã bổ sung thêm một chút định nghĩa trong phần bình luận của ông, rằng điểm không có chiều dài, không có chiều rộng, không có bề dày.
Những định nghĩa mang tính phủ định này gây ra sự hoài nghi. Việc nêu ra thứ gì không phải là điểm không có nghĩa là đã nêu ra được nó là gì! Song nào có ai đề xuất được định nghĩa chuẩn hơn. Trong một vài quyển sách giáo khoa vào đầu thế kỉ 20, đôi khi sẽ bắt gặp một định nghĩa như sau: một điểm là một dấu vết được lưu lại bởi một cây bút chì vót nhọn chấm trên một mặt giấy. Vót nhọn! Lần này, chúng ta đã có được một định nghĩa cụ thể. Định nghĩa này hẳn sẽ gây sốc cho Euclid, Pythagoras và Thales, những người đã gây ra quá nhiều rắc rối trong việc nghiên cứu những hình thái hình học như những chủ thể trừu tượng được lý tưởng hóa. Không một cây bút chì nào, dù có được vót nhọn hay không, lại có thể để lại một dấu vết thật sự không có chiều dài, chiều rộng hay bề dày.
Tóm lại, không ai thật sự biết thế nào là một điểm, nhưng mọi người đều khá chắc chắn rằng ý tưởng này phải đủ đơn giản và rõ ràng để không gây ra sự mơ hồ. Chúng ta đều khá chắc chắn rằng mình đang nói về cùng một thứ khi sử dụng từ điểm.
Dựa trên niềm tin vào những định nghĩa đầu tiên và các tiên đề rồi từ đó mới xây dựng nên toàn bộ hình học. Và vì không có cách nào tốt hơn thế, nên toàn bộ nền toán học hiện đại cũng được xây dựng trên một mô hình giống như vậy.
Định nghĩa - Tiên đề - Định lý - Chứng minh: Con đường được vạch nên bởi Euclid đã định ra lề lối cho những nhà toán học tiếp bước ông. Vậy nhưng, khi mà lý thuyết đã được cơ cấu và khuếch trương, những hạt sạn mới lại chui vào giày các nhà toán học, và chúng mang tên: nghịch lý.
CTV: Cao Nhiên
Bình luận