MỘT CHÚT VỀ PHƯƠNG PHÁP
Tác giả: MICKAEL LAUNAY
Trích: Toán Học Một Thiên Tiểu Thuyết – Lịch Sử Toán Học Kể Từ Thời Tiền Sử Đến Nay; Nhã Phong dịch; NXB Thế Giới.
---o0o---
Vấn đề chứng minh là một trong những công trình chính của toán học Hy Lạp. Mọi định lý không thể có hiệu lực nếu không được xác nhận bằng một chứng minh, nghĩa là một lập luận cụ thể có tính logic thiết lập tính chân thực của nó. Phải nói rằng nếu không được đảm bảo bằng việc chứng minh, những kết quả toán học có thể đem đến những bất ngờ tệ hại. Một vài phương pháp, dù rất phổ biến và được sử dụng rộng rãi, không phải lúc nào cũng đúng.
Nào! Hãy nhớ lại một phương pháp trong tờ giấy cói Rhind về cách vẽ một hình vuông và một hình tròn có cùng diện tích. Vâng, nó không đúng. Không sai lệch quá nhiều, hẳn rồi, nhưng dù sao vẫn sai. Khi đo thật chính xác diện tích bề mặt, chúng chênh nhau khoảng 0,5%! Đối với những nhà trắc địa và nhà khảo sát thực địa, độ chính xác như vậy là quá đủ, nhưng đối với các nhà toán học lý thuyết thì điều đó là không thể chấp nhận được!
Chính Pythagoras cũng từng mắc bẫy bởi những giả thiết sai. Sai lầm nổi tiếng nhất của ông liên ở quan đến tính thông ước về độ dài. Ông cho rằng trong toán học, hai độ dài luôn luôn thông ước, nghĩa là luôn có thể tìm ra một đơn vị đủ nhỏ để đồng thời đo được cả hai độ dài đó. Hãy tưởng tượng ta có một đoạn thẳng dài 9 centimetre và một đoạn khác dài 13,7 centimetre. Người Hy Lạp chưa biết đến sự tồn tại của các con số có dấu phẩy họ chỉ đo độ dài với các số nguyên. Như vậy, đối với họ, đoạn thẳng thứ hai không đo được bằng centimetre. Không vấn đề gì, trong trường hợp này chỉ cần lấy một đơn vị nhỏ hơn mười lần là có thể tính được hai đoạn thẳng lần lượt dài 90 và 137 millimetre. Pythagoras tin chắc rằng hai đoạn thẳng bất kỳ, bất kể độ dài của chúng là bao nhiêu, cũng sẽ luôn thông ước nếu tìm ra đơn vị đo lường thích hợp.
Tuy nhiên niềm tin này đã bị lật đổ bởi một môn đồ của Pythagoras tên là Hippasus xứ Metapontum. Ông này đã khám phá ra rằng trong hình vuông, cạnh và đường chéo không có tính thông ước! Dù chọn đơn vị đo lường nào cũng không thể cùng lúc đo cạnh của hình vuông và đường chéo của nó bằng các số nguyên. Hippasus đã đưa ra một phép chúng mình rất thuyết phục về vấn đề này, khiến Pythagoras và các môn đệ của ông tức giận đến mức tống cổ ông ra khỏi trường: Người ta còn kể rằng phát hiện này đã khiến ông ta bị chính những bạn học của mình ném xuống biển!
Đối với các nhà toán học, câu chuyện này thật rùng rợn. Chẳng lẽ ta sẽ không bao giờ chắc chắn được về bất
cứ điều gì sao? Ta sẽ phải sống trong nỗi sợ hãi thường trực rằng mỗi phát minh về toán học đều có thể bị đạp đổ một ngày nào đó? Vậy còn tam giác 3 – 4 – 5? Có chắc nó là tam giác vuông không? Nhỡ một ngày nào đó ta phát hiện ra rằng góc mà ta vẫn tưởng là vuông cũng chỉ gần vuông thôi?
Ngay cả thời nay, các nhà toán học vẫn thường bị đánh lừa bởi trực giác. Đó là lý do vì sao, học theo tính chặt chẽ của những người đồng nghiệp Hy Lạp, giới toán học của chúng ta hiện nay phân biệt rất cẩn thận những phát biểu đã được chứng minh mà họ gọi là “định lý”, với những gì được coi là đúng nhưng chưa có bất kỳ chứng minh nào, mà họ gọi là “phỏng đoán”.
Một trong những phỏng đoán nổi tiếng nhất trong thời đại hiện nay có tên là giả thuyết Riemann. Nhiều nhà toán học có đủ niềm tin vào tính chân thực của giả thuyết chưa được chứng minh này để tích hợp nó vào nền tảng cho những nghiên cứu của mình. Nếu một ngày phỏng đoán này trở thành định lý, tất cả công trình nghiên cứu của họ sẽ được ghi nhận. Nhưng nếu vào ngày nào đó giả thuyết này bị bác bỏ, thì mọi công trình nghiên cứu liên quan đến nó cũng sẽ sụp đổ theo. Các nhà khoa học của thế kỷ 21 chắc chắn là có lý hơn các ông tổ người Hy Lạp của họ, tuy nhiên ta có thể hiểu rằng, dưới điều kiện này, nhà toán học nào công bố tính sai lầm của giả thuyết Riemann có thể cũng sẽ là người khiến một vài đồng nghiệp trầm mình tự vẫn.
Để thoát khỏi nỗi âu lo thường trực về sự phủ định này, các nhà toán học cần đến phép chứng minh. Không, chúng ta sẽ chẳng bao giờ phát hiện ra rằng 3 – 4 – 5 không phải là tam giác vuông. Nó vuông mà, chắc chắn luôn. Và sự chắc chắn này đến từ thực tế rằng định lý Pythagoras đã được chứng minh là đúng. Bất kỳ một tam giác nào có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại đều là tam giác vuông. Phát biểu này chắc chắn chỉ là một phỏng đoán đối với người Lưỡng Hà. Nó đã trở thành một định lý với những người Hy Lạp. Phù.
Nhưng một phép chứng minh trông như thế nào? Định lý Pythagoras không chỉ là một định lý nổi tiếng nhất, mà nó còn là một trong những định lý sở hữu nhiều cách chứng minh nhất. Người ta đếm được mấy chục cách chứng minh. Một vài cách trong số đó được phát hiện một cách độc lập ở các nền văn minh chưa từng nghe đến đại danh của Euclid hay Pythagoras. Ví dụ như những cách chứng minh được tìm thấy trong phần bình luận của bộ sách Cửu chương toán thuật của Trung Hoa. Những cách khác là công trình của các nhà toán học dù biết rằng định lý đó đã được chứng minh, nhưng do bị thách thức hoặc vì muốn để lại dấu ấn cá nhân, đã tìm ra cách chứng minh mới. Trong số họ, ta có thể kể ra vài cái tên đình đám như nhà phát minh người Ý Leonardo da Vinci hay vị tổng thống thứ hai mươi của Hoa Kỳ, James Abram Garfield.
Một nguyên lý thường gặp trong những cách chứng minh này là một nguyên lý ghép hình: nếu hai hình có thể được ghép thành từ những mảnh ghép giống hệt nhau thì chúng sẽ có cùng diện tích. Hãy nhìn vào hình cắt được hình dung bởi nhà toán học Trung Quốc sống vào thế kỉ 3, Lưu Huy.
Hai hình vuông được dựng dựa trên hai cạnh góc vuông của tam giác vuông nằm ở vị trí trung tâm lần lượt bao gồm hai và năm mảnh ghép. Bảy mảnh ghép này cũng giống với số mảnh có trong hình vuông được dựng theo cạnh huyền. Diện tích của hình vuông dựa theo cạnh huyền bằng với tổng diện tích hai hình vuông nhỏ hơn. Và vì diện tích của một hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh của nó, điều đó chứng minh - định lý Pythagoras là đúng.
Chúng ta sẽ không đi vào chi tiết cụ thể ở đây nhưng tất nhiên, để phép chứng minh được hoàn thiện thì cần phải chỉ ra được rằng tất cả các mảnh ghép đều tuyệt đối giống nhau và cách cắt hình như áp dụng được cho mọi tam giác vuông.
Hãy cùng tóm gọn lại chuỗi suy luận của chúng ta. Tại sao 3 – 4 – 5 lại là tam giác vuông? Bởi vì nó đã được xác nhận qua định lý Pythagoras. Và tại sao định lý Pythagoras đúng? Vì hình cắt của Lưu Huy cho thấy hình vuông ở cạnh huyền được tạo bởi các mảnh ghép giống hệt với hình vuông ở hai cạnh góc vuông. Nghe giống trò chơi “tại sao” mà bọn trẻ thích chơi quá nhỉ. Vấn đề là trò chơi nho nhỏ ấy có khiếm khuyết đáng tiếc là sẽ không bao giờ kết thúc. Dù câu trả lời là gì, ta vẫn có thể tiếp tục đặt câu hỏi tại sao về nó. Tại sao? Vâng, tại sao?
Quay trở lại với trò ghép hình: ta đã khẳng định rằng nếu các hình được tạo thành từ những mảnh ghép giống nhau, chúng sẽ có cùng diện tích. Nhưng ta đã chứng minh được nguyên tắc này luôn đúng chưa? Liệu có khi nào ta tìm được những hình ghép có diện tích thay đổi, theo cách chúng ta lắp ghép không? Ý kiến đó nghe có vẻ vớ vẩn, phải không? Quá vô lý đến nỗi việc thử chứng minh có vẻ ngu ngốc... Tuy nhiên, chúng ta lại vừa mới nhất trí rằng việc chứng minh mọi thứ trong toán học là điều rất quan trọng. Liệu ta có sẵn sàng từ bỏ nguyên lý của mình ngay sau khi vừa công nhận chúng không?
Tình huống này rất nghiêm trọng. Đặc biệt là ngay cả khi ta thành công trong việc giải thích vì sao nguyên lý ghép hình này lại đúng ta vẫn sẽ phải biện minh cho những lập luận mà ta dùng cho mục đích này!
Các nhà toán học Hy Lạp đã nhận thức rõ vấn đề này. Để chứng minh, ta phải bắt đầu từ đâu đó. Thế những câu đầu tiên trong tất cả các cuốn sách toán học lại không hề được chứng minh, chính vì đó là câu mở đầu. Mọi lập luận toán học đều phải bắt đầu bằng việc thừa nhận một vài tiền đề hiển nhiên. Những tiền đề đó sẽ là nền tảng cho tất cả những lý luận về sau và do đó cần được lựa chọn một cách cực kỳ cẩn thận. - Những tiền đề đó được các nhà toán học gọi là “tiên đề”. Tiên đề là những phát biểu toán học, cũng gần giống với định lý và phỏng đoán, nhưng khác ở chỗ chúng không có và cũng không cần bất kỳ sự chứng minh nào. Chúng được thừa nhận là luôn đúng.
(còn tiếp)
CTV: CAO NHIÊN
Bình luận